Homologia Persistente — Invariantes Topológicos de Regimes
Edelsbrunner et al. (2002) · filtragem Vietoris-Rips · Layer 3 do Sistema Julia Mandelbrot v7.5.2
β₀ = componentes conectados (laranja) · β₁ = loops/buracos 1-dim (verde) · persist_i = death_i − birth_i
β₀ = componentes conectados (laranja) · β₁ = loops/buracos 1-dim (verde) · persist_i = death_i − birth_i
nuvem de pontos + filtração VR(ε)
diagrama de persistência (birth × death)
0.30
escala ε
—
β₀ componentes
—
β₁ loops
—
features vivas
// Filtragem de Vietoris-Rips
VR(ε) = {σ ⊆ X : diam(σ) ≤ ε} → sequência de complexos simpliciais aninhados
// Diagrama de persistência
D = {(birth_i, death_i) : feature topológica i} → persist_i = death_i − birth_i
Pontos distantes da diagonal → features genuínas · Pontos próximos → ruído
// No Sistema Julia: dois regimes são o mesmo quando compartilham invariantes topológicos β₀,β₁,β₂
VR(ε) = {σ ⊆ X : diam(σ) ≤ ε} → sequência de complexos simpliciais aninhados
// Diagrama de persistência
D = {(birth_i, death_i) : feature topológica i} → persist_i = death_i − birth_i
Pontos distantes da diagonal → features genuínas · Pontos próximos → ruído
// No Sistema Julia: dois regimes são o mesmo quando compartilham invariantes topológicos β₀,β₁,β₂